Энциклопедия финансового риск-менеджмента

Ниже указана годовая волатильность доходности при разных оценках числа дней в году:

Предположим, что в данный момент времени доходность финансового инструмента равна r. Можно считать, что доходности за один день распределены логнормально с параметрами 0 и ?дн. Если логарифмы относительных изменений доходности не коррелируют между собой, то отношение доходности через год к доходности г будет распределено также логнормально, но с параметрами (0, ?год). Следовательно, сама доходность финансового инструмента через год должна иметь логнормальное распределение с параметрами (ln r, ?год).

Если годовая волатильность доходности достаточно мала, то можно считать, что доходность финансового инструмента через год распределена приблизительно нормально с параметрами r и r?год.

Пример 1.62. Текущая доходность 10-летних казначейских облигаций с нулевым купоном равна 8 %, а годовая волатильность этой доходности равна 15 %.

Можно предположить, что доходность 10-летних облигаций с нулевыми купонами через год будет приблизительно распределена нормально с ожидаемым значением 0,08 и стандартным отклонением 0,08-0,15 = 0,012.

Отсюда, в частности, следует, что с вероятностью 95,5 % доходность через год окажется между 0,08-2 • 0,012 = 0,056 и 0,08 + 2 • 0,012 = 0,104, т. е. будет принимать значение между 5,60 и 10,40 %.

1.24. Элементы регрессионного анализа

Во многих случаях требуется установить зависимость между двумя случайными величинами. Чаще всего предполагается линейная зависимость.

Например, при обмене облигаций использовалась линейная зависимость между изменениями доходностей двух облигаций.

Рассмотрим две случайные величины ? и ? и предположим, что когда случайная величина ? принимает значения X

, X

…., X

, то случайная величина ? принимает соответственно значения Y

, Y

…., Y

.

Линейной регрессионной моделью называют уравнение следующего вида:

При построении линейной регрессионной модели коэффициенты а и b необходимо подобрать так, чтобы влияние случайной погрешности ? на случайную величину ? было как можно меньше.

Из уравнения (1.64) следует, в частности, что

Коэффициенты регрессии а и b чаще всего подбираются методом наименьших квадратов (least squares), который сводится к отысканию значений а и b так, чтобы достигалось наименьшее значение функции

Нетрудно проверить, что наименьшее значение функции (1.