Элементы комбинаторики и теории вероятностей

Элементы комбинаторики и теории вероятностей

Николай Петрович Морозов

Эта книга продолжает разговор, начатый моей книгой «Элементы теории множеств и математической логики», и является практикумом для студентов гуманитарных вузов по данным математическим дисциплинам. Эти две книги обобщают мой опыт проведения практических занятий и семинаров в СПбГИК и СПб филиале Академии Таможенной Службы.

Николай Морозов

Элементы комбинаторики и теории вероятностей

1.

Комбинаторика занимается различного вида соединениями, которые можно образовать из элементов конечного множества. Все разнообразие комбинаторных формул может быть выведено из двух основных утверждений, касающихся конечных множеств – правило суммы и правило произведения [1] .

1.1.Правило суммы

Если конечные множества не пересекаются, то число элементов X U {или} Y равно сумме числа элементов множества X и числа элементов множества Y.

То есть, если на первой полке стоит X книг, а на второй Y, то выбрать книгу из первой или второй полки, можно X+Y способами.

1.2.Правило произведения

Если элемент X можно выбрать k способами, а элемент Y – m способами, то пару (X,Y) можно выбрать k*m способами.

То есть, если на первой полке стоит 5 книг, а на второй 10, то выбрать одну книгу с первой полки и одну со второй можно 5*10=50 способами.

Пересекающиеся множества

Но бывает так, что множества X и Y пересекаются, тогда пользуются формулой, где X и Y – множества, а – область пересечения.

Пример 1. Пусть 20 человек знают английский и 10 – немецкий, из них 5 знают и английский, и немецкий. Сколько человек всего знают один язык?

Ответ: 10+20—5=25 человек.

Очень часто для наглядного решения задачи применяются круги Эйлера.

Пример 2. Из 100 туристов, отправляющихся в заграничное путешествие, немецким языком владеют 30 человек, английским – 28, французским – 42.

Решение: Выразим условие этой задачи графически (см. рис.2.1). Обозначим кругом тех, кто знает английский, другим кругом – тех, кто знает французский, и третьим кругом – тех, кто знают немецкий.

Рис.2.1.

Рис.2.2.