Натуральные числа. Этюды, вариации, упражнения

Возведение в степень, аристократ среди действий с числами, показывается не с помощью специального знака, а особой позиционной записью a

. Аристократизм этого действия проявляется и в том, что у него, в отличие от сложения и умножения нет переместительного закона. От перестановки слагаемых сумма не меняется, от перестановки сомножителей не меняется произведение, но стоит поменять местами основание и показатель степени, и равенства нет:

2

=8?3

=9; 5

=625?4

=1024.

Правда в этом правиле есть одно исключение: 2

=4

=16.

Еще одно отличие действия возведения в степень от сложения и умножения в том, что у сложения и умножения есть ровно по одному обратному действию: для сложение – вычитание, для умножения – деление. Возведение в степень имеет два обратных действия: извлечение корня и вычисление логарифма. У действий, обратных возведению в степень, появляются свои знаки – радикал и логарифм, но о них мы не будем вести речь, так как их выполнимость на множестве натуральных чисел еще сильнее под вопросом, чем деление чисел.

Каждое обратное действие приводило к расширению понятия числа. Вычитание, чтобы быть замкнутой операцией, расширило множество натуральных чисел до чисел целых, которые включают в себя все натуральные числа, к ним еще добавляется ноль, и числа противоположные натуральным – отрицательные числа. Для замкнутости деления чисел пришлось снова расширять множество чисел, уже до чисел рациональных. Наконец, извлечение корня и вычисление логарифмов потребовали введения чисел иррациональных, которые вместе с рациональными числами составили множество действительных или вещественных чисел.

На множестве действительных чисел стали выполняться все перечисленные операции, но…захотелось извлекать корни четной степени из отрицательных чисел, и придумали числа комплексные. Думаете на этом остановились, как бы ни так. Есть еще числа гиперкомплексные. И все это тоже удивительно интересно, но мы не станем «растекаться мыслью по древу» и вернемся к числам натуральным.

Все перечисленные бинарные операции с натуральными числами известны из программы начальной и средней школы, также, надеюсь, как и свойства этих операций.

Работая с натуральными числами, в особенности с многозначными числами, состоящими из нескольких цифр, часто приходится выполнять с ними операции, которые являются унарными (приставка уно от слова один), то есть операции, выполняемые с одним отдельно взятым числом, а не с парой чисел.