Математические модели в естественнонаучном образовании. Том I

Если параметр

 логистической модели окажется больше только что рассмотренных значений, то популяция не приблизится к равновесию. Когда

, получится

 и поэтому ранее устойчивое равновесие

 становится неустойчивым. Таким образом, происходит резкое качественное изменение поведения численности популяции по мере дальнейшего увеличения параметра

. Отсюда возникает интересный вопрос, каковы возможности модели с двумя неустойчивыми равновесиями и без устойчивых. Какое поведение тогда можно ожидать в долгосрочной перспективе?

Компьютерный эксперимент показывает, что для значений

 чуть больше 2 популяция попадает в 2-цикл, её численность бесконечно прыгает взад и вперед между значением выше 1 и значением ниже 1.

 значения в 2-цикле меняются, но наличие 2-цикла сохраняется до тех пор, пока не достигнем другого значения

, при котором происходит еще одно внезапное качественное изменение. На этот раз видим, что 2-цикл становится 4-циклом.

 производит 8-циклы, затем 16-циклы и так далее.

Эта модель приводит к неожиданному, но интересному выводу: одна и та же популяция может демонстрировать разные циклы в своей численности, даже когда окружающая среда совершенно неизменна. Считая, что теоретические предположения в построении математической модели были верны и популяция имеет достаточно большое значение

, на практике она может никогда не достигать ни одного из теоретически существующих равновесных значений.

Хороший способ понять влияние изменения параметра

 на рассматриваемую модель заключается в изображении диаграммы бифуркации на рисунке 1.6. В Maple это изображение легко получить следующей серией команд:

with(IterativeMaps):with(ImageTools):

Logistic := Bifurcation([x], [x + r*x*(1 – x)], [0.99], 1.5, 3):

ArrayTools:-Dimensions(Logistic)

ColouringProcedures:-HueToRGB(Logistic):Embed(Logistic)

Рисунок 1.6. Бифуркационная диаграмма логистической модели

.

, а по вертикальной снизу вверх отложены циклические аттракторы значений соответствующей популяции.

Рисунок 1.6 получен следующим образом. Для каждого значения

 на горизонтальной оси выбирается некоторое значение

 и выполняется итерация модели на несколько временных шагов, чтобы пройти этап переходного процесса, например, раз 200.