Энциклопедия финансового риск-менеджмента

Будем считать, что доходность 10-летних облигаций с нулевыми купонами имеет логнормальное распределение с параметрами a = -2,70; S = 0,30.

3. Если две случайные величины распределены логнормально, то их произведение также имеет логнормальное распределение.

1.22.5. Распределение х

(хи-квадрат)

Говорят, что случайная величина z имеет распределение х

(chi-squared distribution) с n степенями свободы, если она представима в виде суммы n квадратов взаимно независимых величин со стандартными нормальными распределениями.

Свойства распределения X

Пример 1.58. Даны 10 дневных наблюдений доходности 30-летних казначейских облигаций с нулевым купоном:

Если допустить, что доходность распределена нормально, то оценки математического ожидания и дисперсии доходности можно найти следующим образом:

Доверительный интервал для дисперсии доходности с надежностью 96 % можно найти из условия

1.

Распределение вероятностей случайной величины

называется распределением Стьюдента (Student’s t-distribution) с n степенями свободы, если случайные величины ? и ? независимы, ? имеет стандартное нормальное распределение, а ? – распределение х

с n степенями свободы.

Свойства распределения Стьюдента

1. Если случайная величина t имеет распределение Стьюдента с n степенями свободы, то

Асимметрия распределения Стьюдента равна 0.

2. При возрастании числа степеней свободы распределение Стьюдента стремится к стандартному нормальному распределению. При этом распределение Стьюдента имеет более тяжелые ветви, чем стандартное нормальное распределение. На рис. 1.26 изображены графики плотности стандартного нормального распределения и распределения Стьюдента с тремя степенями свободы.

3. Критическим значением распределения Стьюдента с и степенями свободы называют число t

(n), удовлетворяющее условию:

где ? – заданная вероятность.

Критические значения распределения Стьюдента указаны в табл. 1.3.

4. Если случайные величины ?

, ?

…., ?

взаимно независимы и распределены нормально с параметрами (а, ?), то случайная величина

Пример. 1.59. В условиях примера 1.58 найдем доверительный интервал для ожидаемой доходности с надежностью 95 %.

Так как

Согласно табл. 1.