Чудеса арифметики от Пьера Симона де Ферма

Аналогичный труд с доказательством ВТФ для n=7 выполнил коллега Коши по Академии наук Габриэль Ламе. Подобные творения не то, что студентам, но и академикам не по силам, т.к. первые ничего не могут в них понять, а вторые просто не располагают для этого необходимым временем. Тогда выходит, что такие доказательства вряд ли возможно проверить, насколько они убедительны, т.е. являются ли вообще доказательствами. А вот если бы Коши применил рекомендованный Ферма метод спуска, то доказательство стало бы настолько убедительным, что никаких проверок просто не потребовалось бы.

Рис.34. Титульная страница доказательства Коши

Золотой теоремы Ферма

Рис. 35. Одна из 43-х страниц доказательства Коши

Золотой теоремы Ферма

3.4.3. Задача Архимеда-Ферма

Постановка задачи выглядит следующим образом:

Пусть дано любое неквадратное число, требуется найти бесконечное число квадратов, которые при умножении на данное число и увеличении на единицу составят квадрат.

Ферма предложил найти решения для чисел 61, 109, 149, и 433 [36].

Способ, как вычислить требуемые числа, сумел найти английский математик Джон Валлис, применив метод Евклида разложения иррационального числа в бесконечную простую дробь. Своё решение он опубликовал его под названием «Commercium epistolicum» см.

Рис. 36. Джон Валлис

Хотя Валлис и не дал полное доказательства правомерности этого метода, Ферма всё же признал, что с задачей он справился. К решению почти вплотную приблизился Эйлер, когда он показал, что эта дробь цикличная, однако и ему не удалось довести доказательство до конца, и в конечном итоге эту задачу всё-таки решил Лагранж. Позже уже своим способом решение нашёл также Гаусс, но для этого была задействована созданная им обширная теория под названием «Арифметика вычетов».

Рис. 37. Титульная страница публикации Валлиса

Commercium epistolicum

И всё было бы хорошо, если бы доказательство Лагранжа не относилось к категории высшей трудности, а решение Гаусса не опиралось на сложнейшую теорию. Ведь сам Ферма явно не мог следовать ни тем, ни другим путем. О том, как он сам решил эту задачу, он сообщает в письме-завещании в августе 1659 г.