Введение в финансовую математику

Это вознаграждение, в свою очередь, может быть выражено в денежных единицах.

Пусть владелец денег отдает их в кредит в размере Р в момент времени t = 0, а получает их обратно вместе с вознаграждением в размере S в момент времени t = n, где под n будем понимать временной срок, выраженный в годах, n может быть нецелым. Тогда:

S = P + I, где:

P – первоначальная сумма вложений;

S – наращенная сумма;

I – процентный доход владельца денег (interest).

2. Простые и сложные проценты

Процентная ставка

Обычно процентный доход выражается не в виде конкретной суммы I, а с помощью так называемой процентной ставки i.

Ставка i используется как некоторый показатель, индикатор, применимый для множества различных ситуаций и позволяющий проводить сравнения, что объясняет удобство его использования.

Простые и сложные проценты

Исторически сложилось два разных вида используемых процентов: простые и сложные.

Простые проценты представляют собой равномерный по времени способ начисления процентного дохода на первоначальную сумму кредита:

S = P (1 + in).

Процентный доход прямо пропорционален сроку кредита:

I = inP.

Такие проценты являются наиболее простыми и исторически возникли первыми. Но если срок рассматриваемого кредита велик (например, составляет несколько лет), то возникает следующий вопрос. По прошествии года кредитор уже получил право на получение процентного дохода за прошедший год. Но согласно условиям сделки фактического получения этих денежных средств нужно ждать еще n – 1 лет.

Значит, на эти денежные средства также должны начисляться проценты. Таким образом, по истечении двух лет кредитор должен получить

S = [ P (1 + i) ] (1 + i).

Рассуждая аналогично получим, что через n лет наращенная сумма составит:

S = P (1 + i)

.

Это и есть формула начисления сложных процентов. Их основным отличием от простых процентов является начисление процентов на уже начисленные за прошедшие периоды проценты. Присоединение процентов к основной сумме долга для дальнейшего наращения называется капитализацией.

Годовая процентная ставка

В приведенных выше формулах процентная ставка i предполагается годовой, т.е. срок необходимо выражать в годах.

Процентная ставка всегда считается годовой, если не указано противное.

Отметим, что при рассмотрении сложных процентов выше считалось, что они начисляются один раз в год (после истечения года, собственно, их можно капитализировать).