Действуй, мозг! Квантовая модель разума

Однако важнейшее достоинство теории множеств состоит в её универсальности.

Множества могут быть любыми: конечными, как {0; 1}, и бесконечными – если, например, взять ряд натуральных чисел. Из этого, более мощного, множества можно построить те же четыре бинарные последовательности.

Следовательно, одни множества являются подмножествами других множеств: более мощных, конечных и бесконечных. Тогда, например, все возможные логические высказывания есть подмножество всех высказываний на данном языке, а все гены человека – подмножество всех генов человечества.

Некоторые математики были настолько очарованы теорией множеств, что посчитали возможным создать универсальную аксиоматическую математику (и логику заодно). Их назвали «формалистами».

К ним принадлежал, например, великий математик Давид Гильберт, попытавшийся обосновать тезис о существовании в математике абсолютных истин и/или аксиом. Если б замысел Гильберта удался, то вывод математических теорем в наши дни стал бы рутинным заданием в младшей школе.

С формальным подходом не согласились «интуиционисты», посчитавшие абстракции вроде бесконечных множеств бесполезными развлечениями и требовавшие конструирования цепочек непротиворечивых доказательств любых математических объектов.

Такой взгляд, в частности, выражал другой величайший математик – Анри Пуанкаре. Начальной точкой рассуждений он признавал догадку. Которая выносилась на суд коллег-учёных и, если они с ней соглашались, становилась конвенцией.

Таким образом, у формалистов закон снятия двойного отрицания и доказательство от противного считались аксиомами, а у интуиционистов не считались таковыми.

Условно говоря: спорили о том, можно или нельзя при разборе классического силлогизма опровергнуть/вычислить высказывание «Все не люди не смертны». При том, что «Все люди смертны» – истина.

Или: число 17 – нечётное по определению (мы договорились считать его таковым), или оно нечётное, потому что это можно доказать от противного (принимаем закон снятия двойного отрицания как абсолютную истину).