Все науки. №1, 2023. Международный научный журнал

Всё дело в том, что хоть такие математические записи слишком непривычны, но они кратки и точны, чем обычный язык, не оставляя место ошибкам или нечёткой логике, позволяя описывать свойства самой формальной системы. И если такая возможность наконец появилась, то это самое время для исследования самой математики, поставив три основных вопроса:

1. Полнота математики, то есть возможно ли доказать любое истинное утверждение?

2. Непротиворечивость, то есть свободна ли математика от противоречий? Ведь если можно сказать, что А – истинно и что А – ложно, одновременно, значит можно доказать что угодно и пропадает всякий смысл в самой науке.

3. Разрешимость математики, то есть ли такой алгоритм, который сказал бы – следует ли какой-то вывод из аксиом?

Гильберт был убеждён, что на все три вопроса можно ответить положительно, произнеся пламенную речь на конференции 30-го года, завершив фразой: «Пусть нашим лозунгом будет не ignorabimus, что значит „мы не узнаем“, а нечто совершенно иное: „мы должны знать – мы будем знать!“», эти слова и были высечены на его надгробии, но за день до выступления, на той же конференции, 24 летний логик Курт Гёдель рассказывал о том, что смог найти ответ на первый вопрос Гильберта о полноте и на удивление ответ был полностью отрицательным.

Неужели невозможно полностью сформулировать математику? И единственным, кто проявил интерес к юноше был Джон фон Нейман – бывший студент Гильберта, задавая различные уточняющие вопросы, после чего на следующий 1931-й год Гёдель опубликовал статью о неполноте и все, вместе с Гильбертом после этого обратили на него и его доказательство внимание.

А доказательство выглядело следующим образом. Он хотел использовать логику и математику, чтобы найти ответы на вопросы о том, как работают, логика и математика, для чего он взял все знаки математической системы и присвоил каждому из них свой номер, приводя нумерацию Гёделя.

Его система демонстрируется в (3—17).

Но если потратить на каждый знак числа, то для самих чисел, к примеру для 0 присваивается цифра – 6, а если написать 1, пишется «s0», что значит «следующее за 0», для 2 – ss0 и так можно выразить любое целое число, хоть и громоздко.