Как ломаются спагетти и другие задачи по физике

Но может ли оно стать сколь угодно медленным?

Задача

Давайте рассмотрим совершенно гипотетическую, даже фантастическую постановку задачи: имеется математический маятник, длина его подвеса безумно велика и во много раз превышает радиус Земли. Сам точечный грузик при этом находится в лаборатории на уровне земли, но только точка подвеса унесена далеко – даже так: сколько угодно далеко – в космос! Для простоты будем считать, что Земля и точка подвеса – неподвижны. Это, конечно, слегка безумная и совершенно нереализуемая на практике ситуация, но мы имеем право рассмотреть такой мысленный эксперимент.

Рис. 1. Математический маятник в поле тяжести Земли. Пунктиром показано положение равновесия, сплошной линией – отклонение от него. Сила натяжения нити F

и сила тяжести mg, складываясь, порождают возвращающую силу, которая и заставляет маятник колебаться

Вычислите период малых колебаний такого математического маятника бесконечной длины. Какой еще известный вам процесс имеет тот же период? Объясните, почему эти два совершенно разных типа движения имеют одинаковый период.

Подсказка 1

Ясно, что бесконечность подставлять в формулу нельзя, поскольку при выводе этой школьной формулы не предусматривалась такая экстремальная ситуация, которую мы предложили в задаче. Значит, надо формулу вывести еще раз – но только с учетом того, что радиус Земли много меньше длины маятника, а не наоборот.

Подсказка 2

Тут есть два подхода: стандартный метод расчета и маленькая хитрость.

Стандартный метод вычисления периода колебаний таков. Рисуем положение равновесия и положение с небольшим горизонтальным отклонением x от него. Выясняем, откуда берется возвращающая сила. Убеждаемся, что возвращающая сила линейно зависит от отклонения, и возникший коэффициент пропорциональности называем жесткостью: F = ? kx. Жесткость, деленная на массу грузика, дает частоту ? в квадрате. Период – это 2?/?.

Маленькая же хитрость заключается в том, что когда вы начнете следовать этой процедуре, то догадаетесь, что задача в некотором смысле эквивалентна исходной.

Так или иначе, начните с рисунка исходного положения бесконечно длинного маятника, положения при отклонении от равновесия, нарисуйте силы и найдите возвращающую силу.

Решение

На рис. 2 изображен наш бесконечно длинный маятник. Пунктирной линией показано положение равновесия, сплошной – отклонение от него.