Энциклопедия финансового риск-менеджмента

Таким образом, при моделировании эволюции цены облигации с нулевым купоном необходимо учитывать эффект приближения к номиналу (pull to par), а геометрическое броуновское движение этот эффект не учитывает, так как

растет во времени линейно.

В общем случае найти решение стохастического дифференциального уравнения (1.71) в явном виде не удается. Поэтому для моделирования траекторий случайного процесса Ито часто применяется метод Монте-Карло.

Чтобы смоделировать траекторию случайного процесса Ито на отрезке [t, Т], этот отрезок разбивается на n равных частей (n должно быть большим), а затем разыгрывается случайная величина ?, распределенная нормально с параметрами

Тогда для последовательности случайных чисел ?

, ?

….

будет построена соответствующая последовательность значений

случайной величины ?, а траектория случайного процесса Ито будет определяться точками:

Указанным выше способом можно построить сколь угодно много траекторий случайного процесса Ито.

1.29. Основы теории экстремальных значений

Дана последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин: ?

, ?

…., ?

…. с функцией распределения F(x).

Можно рассмотреть новую последовательность случайных величин {M

}, где M

= max {?

, ?

…., ?

….}, n = 1, 2, 3…..

Функция распределения случайной величины M

определяется следующим образом:

Теорема Фишера-Типпета

Дана последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин ?

, ?

….

…..

Следствие из теоремы Фишера – Типпета

Если случайные величины ?

, ?

, …, ?

независимы и одинаково распределены, а n достаточно велико, то функция распределения случайной величины M

 = max{?

, ?

, …, ?

} практически совпадает с функцией обобщенного распределения экстремальных значений (при подходящем выборе параметров ?, ? и ?).

Предположим, что случайная величина M

= max{?

, ?

, …, ?

} имеет распределение Фреше, т. е.

Тогда справедливы следующие утверждения:

1. Плотность распределения случайной величины M

имеет следующий вид (рис. 1.32).

2. Математическое ожидание и дисперсии случайной величины M

можно найти по формулам:

Параметры ?, ?, ? можно подобрать на основе статистических данных.