Энциклопедия финансового риск-менеджмента

Разделив отрезок [-3,905 %; 24,97 %] на достаточно большое число частей, подсчитаем для каждой части число итераций, дающих реализуемую доходность из этой части.

Таким образом, будет построено эмпирическое распределение вероятностей реализуемой доходности портфеля облигаций. После чего можно получить различные числовые характеристики этой реализуемой доходности: среднее значение, стандартное отклонение и т. д.

1.26. Случайные процессы и их основные характеристики

Дано основное вероятное пространство

где ? – пространство элементарных событий;

? – ?-алгебра случайных событий;

Р – вероятностная мера.

Рассмотрим некоторое числовое множество V, элементы которого в дальнейшем будем считать моментами времени.

Функция ?(w, t) двух переменных w ? ? и t ? V называется случайным процессом (stochastic process), определенным на множестве V, если для любых t ? V и x ? R (R – множество всех действительных чисел) множество

т. е. является случайным событием.

Из условия (1.70) следует, что если на множестве V определен случайный процесс ?(w, t), то каждому моменту времени t ? V поставлена в соответствие случайная величина ?

(w) = ?(w, t). Случайная величина ?

(w) называется сечением случайного процесса в момент времени t.

Таким образом, чтобы на множестве V задать некоторый случайный процесс, достаточно каждому моменту времени t ? V поставить в соответствие ту или иную случайную величину ?

(w) – сечение этого случайного процесса.

(w) или просто ?

.

Если на множестве V задан случайный процесс ?(w, t), то при каждом фиксированном элементарном событии w ? ? мы имеем функцию одного переменного t. Эту функцию, определенную на множестве V, называют траекторией, или реализацией, случайного процесса ?(w, t).

Пример 1.68. Рассмотрим случайный процесс

Сечением данного случайного процесса в момент времени t = 2 является случайная величина 2?(w) + 1.

Пример 1.69. Случайный процесс на [0, +?) определен следующим образом:

Сечением случайного процесса ?(w, t) в момент времени t является случайная величина, принимающая значение 1 с вероятностью, равной P{?(w) > t}, и значение 2 с вероятностью, равной P{?(w) ? t}.

Траектория случайного процесса ?(w, t) имеет вид, изображенный на рис. 1.28.